Problème de Lebesgue - Historique des versions

Admin : /* Ensemble de diamètre 1 */

2017-04-28T15:01:46Z

Ensemble de diamètre 1

← Version précédente		Version du 28 avril 2017 à 17:01
Ligne 37 :		Ligne 37 :

	* tout polygone irrégulier inscrit dans le cercle unité et ayant au moins 1 sommet qui "fait face" à un coté (faire face = de l'autre coté du centre du cercle, en ligne droite) doit pouvoir, par une légère déformation de ce sommet (tirage vers l'extérieur), ne plus être contenu dans le cercle unité.		* tout polygone irrégulier inscrit dans le cercle unité et ayant au moins 1 sommet qui "fait face" à un coté (faire face = de l'autre coté du centre du cercle, en ligne droite) doit pouvoir, par une légère déformation de ce sommet (tirage vers l'extérieur), ne plus être contenu dans le cercle unité.

			* tout polygone irrégulier précédent, où chaque coté est (comme pour le triangle équilatéral) remplacé par l'arc de cercle centré sur le sommet en face. Notons que ceci génère une surface supérieure, mais n'augmente à priori pas la dispersion maximale (qui reste donnée par les sommets).

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2017-04-28T10:15:42Z

Ensemble de diamètre 1

← Version précédente		Version du 28 avril 2017 à 12:15
Ligne 15 :		Ligne 15 :

	* Un ensemble de points disposés à l'intérieur du cercle unité (cercle de diamètre 1 (au sens usuel)) est un ensemble convexe de diamètre 1.		* Un ensemble de points disposés à l'intérieur du cercle unité (cercle de diamètre 1 (au sens usuel)) est un ensemble convexe de diamètre 1.
	** Surface = Pi x r x r = Pi/4 ~ 0,785398163...		** Surface = Pi x r x r = Pi/4 ~ 0,785398163... C'est un minorant trivial pour la solution du problème de Lebesgue.

			* Le carré de diagonale 1 est un ensemble convexe de diamètre 1. Mais ce carré est contenu dans le cercle unité. Ce n'est donc pas une forme très intéressante.

			Pour appréhender et approcher la solution du problème de Lebesgue,
			il faut a priori s'intéresser aux formes susceptibles de "déborder" le plus du cercle unité, tout en restant de diamètre 1 et convexes.

	* n'importe quel triangle isocèle de cotés 1 et de base inférieure ou égale à 1 est un ensemble convexe de diamètre 1, et qui n'est pas contenu dans le cercle unité.		* n'importe quel triangle isocèle de cotés 1 et de base inférieure ou égale à 1 est un ensemble convexe de diamètre 1, et qui n'est pas contenu dans le cercle unité.
Ligne 23 :		Ligne 28 :
	** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans le cercle unité (sur un dessin, c'est immédiat).		** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans le cercle unité (sur un dessin, c'est immédiat).
	** Les 3 sommets du triangle équilatéral de coté 1 réalisent la dispersion maximale possible pour 3 points (chacun des points est à distance maximum des 2 autres). Cette dispersion est elle-même supérieure à la dispersion de n points pour n > 3. (Impossible de rajouter un point supplémentaire (différents des 3 sommets) tel qu'il agrandisse le cercle exinscrit). Cela nous donne donc un majorant pour la solution du problème de Lebesgue. Le rayon du cercle exinscrit est 1/sqrt(3) ~ 0,577350269 et sa surface est Pi x r x r = Pi/3 = 1,047197551. C'est pas un majorant extraordinaire, mais c'est déjà ça.		** Les 3 sommets du triangle équilatéral de coté 1 réalisent la dispersion maximale possible pour 3 points (chacun des points est à distance maximum des 2 autres). Cette dispersion est elle-même supérieure à la dispersion de n points pour n > 3. (Impossible de rajouter un point supplémentaire (différents des 3 sommets) tel qu'il agrandisse le cercle exinscrit). Cela nous donne donc un majorant pour la solution du problème de Lebesgue. Le rayon du cercle exinscrit est 1/sqrt(3) ~ 0,577350269 et sa surface est Pi x r x r = Pi/3 = 1,047197551. C'est pas un majorant extraordinaire, mais c'est déjà ça.

	* Le carré de diagonale 1 est un ensemble convexe de diamètre 1. Mais ce carré est contenu dans le cercle unité. Ce n'est donc pas une forme très intéressante.

	* L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.		* L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.

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2017-04-28T10:04:42Z

Ensemble de diamètre 1

← Version précédente		Version du 28 avril 2017 à 12:04
Ligne 32 :		Ligne 32 :

	* Le pentagone régulier : sauf erreur, on peut construire un pentagone régulier de diamètre 1 et qui ne tienne pas dans le cercle unité. En effet, comme pour le triangle équilatéral (et sans doute tous les polygones réguliers impairs, chaque sommet fait face à un milieu de coté. Si on inscrit un polygone régulier impair dans le cercle unité, il y a toujours de la marge pour tirer légèrement un sommet hors du cercle unité, tout en restant de diamètre 1 (faut faire un dessin pour le voir).		* Le pentagone régulier : sauf erreur, on peut construire un pentagone régulier de diamètre 1 et qui ne tienne pas dans le cercle unité. En effet, comme pour le triangle équilatéral (et sans doute tous les polygones réguliers impairs, chaque sommet fait face à un milieu de coté. Si on inscrit un polygone régulier impair dans le cercle unité, il y a toujours de la marge pour tirer légèrement un sommet hors du cercle unité, tout en restant de diamètre 1 (faut faire un dessin pour le voir).

			* tout polygone irrégulier inscrit dans le cercle unité et ayant au moins 1 sommet qui "fait face" à un coté (faire face = de l'autre coté du centre du cercle, en ligne droite) doit pouvoir, par une légère déformation de ce sommet (tirage vers l'extérieur), ne plus être contenu dans le cercle unité.

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2017-04-28T09:21:55Z

Ensemble de diamètre 1

← Version précédente		Version du 28 avril 2017 à 11:21
Ligne 22 :		Ligne 22 :
	** Surface = base x hauteur / 2 = 1 x sqrt(3)/2 x 0.5 = sqrt(3)/4 ~ 0,433012702...		** Surface = base x hauteur / 2 = 1 x sqrt(3)/2 x 0.5 = sqrt(3)/4 ~ 0,433012702...
	** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans le cercle unité (sur un dessin, c'est immédiat).		** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans le cercle unité (sur un dessin, c'est immédiat).
	** on subodore que c'est peut-être le plus petit polygone régulier à pouvoir réaliser cela. Le polygone suivant est le carré. Et pour qu'un carré soit de diamètre 1, cela implique que sa diagonale soit 1, ie que le carré soit contenu dans le cercle unité.
	** Les 3 sommets du triangle équilatéral de coté 1 réalisent la dispersion maximale possible pour 3 points (chacun des points est à distance maximum des 2 autres). Cette dispersion est elle-même supérieure à la dispersion de n points pour n > 3. (Impossible de rajouter un point supplémentaire (différents des 3 sommets) tel qu'il agrandisse le cercle exinscrit). Cela nous donne donc un majorant pour la solution du problème de Lebesgue. Le rayon du cercle exinscrit est 1/sqrt(3) ~ 0,577350269 et sa surface est Pi x r x r = Pi/3 = 1,047197551. C'est pas un majorant extraordinaire, mais c'est déjà ça.		** Les 3 sommets du triangle équilatéral de coté 1 réalisent la dispersion maximale possible pour 3 points (chacun des points est à distance maximum des 2 autres). Cette dispersion est elle-même supérieure à la dispersion de n points pour n > 3. (Impossible de rajouter un point supplémentaire (différents des 3 sommets) tel qu'il agrandisse le cercle exinscrit). Cela nous donne donc un majorant pour la solution du problème de Lebesgue. Le rayon du cercle exinscrit est 1/sqrt(3) ~ 0,577350269 et sa surface est Pi x r x r = Pi/3 = 1,047197551. C'est pas un majorant extraordinaire, mais c'est déjà ça.

			* Le carré de diagonale 1 est un ensemble convexe de diamètre 1. Mais ce carré est contenu dans le cercle unité. Ce n'est donc pas une forme très intéressante.

	* L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.		* L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.
Ligne 29 :		Ligne 30 :
	** chaque angle d'un triangle équilatéral vaut 60°. Le secteur angulaire d'angle 60° d'un disque de rayon 1 a une surface de Pi/6 ~ 0,523598776... , cette surface est la somme du triangle équilatéral de coté 1 + un petit onglet. cet onglet vaut donc (Pi/6)-sqrt(3)/4 = 0,523598776-0,433012702 ~ 0,090586074. La surface de Z est donc 3 x 0,090586074 + sqrt(3)/4 = 0,271758221 + 0,433012702 = 0,704770923		** chaque angle d'un triangle équilatéral vaut 60°. Le secteur angulaire d'angle 60° d'un disque de rayon 1 a une surface de Pi/6 ~ 0,523598776... , cette surface est la somme du triangle équilatéral de coté 1 + un petit onglet. cet onglet vaut donc (Pi/6)-sqrt(3)/4 = 0,523598776-0,433012702 ~ 0,090586074. La surface de Z est donc 3 x 0,090586074 + sqrt(3)/4 = 0,271758221 + 0,433012702 = 0,704770923
	** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans un disque de diamètre 1. Sur un dessin, cela est immédiat.		** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans un disque de diamètre 1. Sur un dessin, cela est immédiat.

			* Le pentagone régulier : sauf erreur, on peut construire un pentagone régulier de diamètre 1 et qui ne tienne pas dans le cercle unité. En effet, comme pour le triangle équilatéral (et sans doute tous les polygones réguliers impairs, chaque sommet fait face à un milieu de coté. Si on inscrit un polygone régulier impair dans le cercle unité, il y a toujours de la marge pour tirer légèrement un sommet hors du cercle unité, tout en restant de diamètre 1 (faut faire un dessin pour le voir).

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2017-04-28T08:33:42Z

Diamètre

← Version précédente		Version du 28 avril 2017 à 10:33
Ligne 10 :		Ligne 10 :


	==~~Diamètre~~==		==Ensemble de diamètre 1==
	* https://fr.wikipedia.org/wiki/Diamètre		* https://fr.wikipedia.org/wiki/Diamètre
	Le diamètre d'un ensemble de points est la distance entre ses 2 points les plus éloignés		Le diamètre d'un ensemble de points est la distance entre ses 2 points les plus éloignés
Ligne 16 :		Ligne 16 :
	* Un ensemble de points disposés à l'intérieur du cercle unité (cercle de diamètre 1 (au sens usuel)) est un ensemble convexe de diamètre 1.		* Un ensemble de points disposés à l'intérieur du cercle unité (cercle de diamètre 1 (au sens usuel)) est un ensemble convexe de diamètre 1.
	** Surface = Pi x r x r = Pi/4 ~ 0,785398163...		** Surface = Pi x r x r = Pi/4 ~ 0,785398163...

			* n'importe quel triangle isocèle de cotés 1 et de base inférieure ou égale à 1 est un ensemble convexe de diamètre 1, et qui n'est pas contenu dans le cercle unité.

	* Un ensemble de points disposés à l'intérieur d'un triangle équilatéral de coté 1 est un ensemble convexe de diamètre 1.		* Un ensemble de points disposés à l'intérieur d'un triangle équilatéral de coté 1 est un ensemble convexe de diamètre 1.

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2017-04-28T07:27:27Z

Diamètre

← Version précédente		Version du 28 avril 2017 à 09:27
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	** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans le cercle unité (sur un dessin, c'est immédiat).		** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans le cercle unité (sur un dessin, c'est immédiat).
	** on subodore que c'est peut-être le plus petit polygone régulier à pouvoir réaliser cela. Le polygone suivant est le carré. Et pour qu'un carré soit de diamètre 1, cela implique que sa diagonale soit 1, ie que le carré soit contenu dans le cercle unité.		** on subodore que c'est peut-être le plus petit polygone régulier à pouvoir réaliser cela. Le polygone suivant est le carré. Et pour qu'un carré soit de diamètre 1, cela implique que sa diagonale soit 1, ie que le carré soit contenu dans le cercle unité.
	** Les 3 sommets du triangle équilatéral de coté 1 réalisent la dispersion maximale possible pour 3 points (chacun des points est à distance maximum des 2 autres). Cette dispersion est elle-même supérieure à la dispersion de n points pour n > 3. (Impossible de rajouter un point supplémentaire (différents des 3 sommets) tel qu'il agrandisse le cercle exinscrit). Cela nous donne donc un majorant pour la solution du problème de Lebesgue.		** Les 3 sommets du triangle équilatéral de coté 1 réalisent la dispersion maximale possible pour 3 points (chacun des points est à distance maximum des 2 autres). Cette dispersion est elle-même supérieure à la dispersion de n points pour n > 3. (Impossible de rajouter un point supplémentaire (différents des 3 sommets) tel qu'il agrandisse le cercle exinscrit). Cela nous donne donc un majorant pour la solution du problème de Lebesgue. Le rayon du cercle exinscrit est 1/sqrt(3) ~ 0,577350269 et sa surface est Pi x r x r = Pi/3 = 1,047197551. C'est pas un majorant extraordinaire, mais c'est déjà ça.

	* L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.		* L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.

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2017-04-28T07:01:03Z

Diamètre

← Version précédente		Version du 28 avril 2017 à 09:01
Ligne 14 :		Ligne 14 :
	Le diamètre d'un ensemble de points est la distance entre ses 2 points les plus éloignés		Le diamètre d'un ensemble de points est la distance entre ses 2 points les plus éloignés

	* Un ensemble de points disposés à l'intérieur ~~d'un~~ cercle de diamètre 1 (au sens usuel) est un ensemble convexe de diamètre 1.		* Un ensemble de points disposés à l'intérieur du cercle unité (cercle de diamètre 1 (au sens usuel)) est un ensemble convexe de diamètre 1.
	** Surface = Pi x r x r = Pi/4 ~ 0,785398163...		** Surface = Pi x r x r = Pi/4 ~ 0,785398163...

	* Un ensemble de points disposés à l'intérieur d'un triangle équilatéral de coté 1 est un ensemble convexe de diamètre 1.		* Un ensemble de points disposés à l'intérieur d'un triangle équilatéral de coté 1 est un ensemble convexe de diamètre 1.
	** Surface = base x hauteur / 2 = 1 x sqrt(3)/2 x 0.5 = sqrt(3)/4 ~ 0,433012702...		** Surface = base x hauteur / 2 = 1 x sqrt(3)/2 x 0.5 = sqrt(3)/4 ~ 0,433012702...
	** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans ~~un disque de diamètre 1. Sur~~ un dessin, ~~cela~~ est immédiat.		** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans le cercle unité (sur un dessin, c'est immédiat).
	** on subodore que c'est peut-être le plus petit polygone régulier à pouvoir réaliser cela. Le polygone suivant est le carré. Et pour qu'un carré soit de diamètre 1, cela implique que sa diagonale soit 1, ie que le carré soit contenu dans le cercle unité.		** on subodore que c'est peut-être le plus petit polygone régulier à pouvoir réaliser cela. Le polygone suivant est le carré. Et pour qu'un carré soit de diamètre 1, cela implique que sa diagonale soit 1, ie que le carré soit contenu dans le cercle unité.
			** Les 3 sommets du triangle équilatéral de coté 1 réalisent la dispersion maximale possible pour 3 points (chacun des points est à distance maximum des 2 autres). Cette dispersion est elle-même supérieure à la dispersion de n points pour n > 3. (Impossible de rajouter un point supplémentaire (différents des 3 sommets) tel qu'il agrandisse le cercle exinscrit). Cela nous donne donc un majorant pour la solution du problème de Lebesgue.

	* L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.		* L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.

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2017-04-27T17:40:40Z

Diamètre

← Version précédente		Version du 27 avril 2017 à 19:40
Ligne 20 :		Ligne 20 :
	** Surface = base x hauteur / 2 = 1 x sqrt(3)/2 x 0.5 = sqrt(3)/4 ~ 0,433012702...		** Surface = base x hauteur / 2 = 1 x sqrt(3)/2 x 0.5 = sqrt(3)/4 ~ 0,433012702...
	** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans un disque de diamètre 1. Sur un dessin, cela est immédiat.		** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans un disque de diamètre 1. Sur un dessin, cela est immédiat.
	** on subodore que c'est le plus petit polygone régulier à pouvoir réaliser cela. Le polygone suivant est le carré. Et pour qu'un carré soit de diamètre 1, cela implique que sa diagonale soit 1, ie que le carré soit contenu dans le cercle unité.		** on subodore que c'est peut-être le plus petit polygone régulier à pouvoir réaliser cela. Le polygone suivant est le carré. Et pour qu'un carré soit de diamètre 1, cela implique que sa diagonale soit 1, ie que le carré soit contenu dans le cercle unité.

	* L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.		* L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.

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2017-04-27T17:21:58Z

Diamètre

← Version précédente		Version du 27 avril 2017 à 19:21
Ligne 20 :		Ligne 20 :
	** Surface = base x hauteur / 2 = 1 x sqrt(3)/2 x 0.5 = sqrt(3)/4 ~ 0,433012702...		** Surface = base x hauteur / 2 = 1 x sqrt(3)/2 x 0.5 = sqrt(3)/4 ~ 0,433012702...
	** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans un disque de diamètre 1. Sur un dessin, cela est immédiat.		** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans un disque de diamètre 1. Sur un dessin, cela est immédiat.
			** on subodore que c'est le plus petit polygone régulier à pouvoir réaliser cela. Le polygone suivant est le carré. Et pour qu'un carré soit de diamètre 1, cela implique que sa diagonale soit 1, ie que le carré soit contenu dans le cercle unité.

	* L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.		* L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.

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2017-04-27T17:02:56Z

Diamètre

← Version précédente		Version du 27 avril 2017 à 19:02
Ligne 18 :		Ligne 18 :

	* Un ensemble de points disposés à l'intérieur d'un triangle équilatéral de coté 1 est un ensemble convexe de diamètre 1.		* Un ensemble de points disposés à l'intérieur d'un triangle équilatéral de coté 1 est un ensemble convexe de diamètre 1.
	** Surface = base x hauteur / 2 = 0.5		** Surface = base x hauteur / 2 = 1 x sqrt(3)/2 x 0.5 = sqrt(3)/4 ~ 0,433012702...
	** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans un disque de diamètre 1. Sur un dessin, cela est immédiat.		** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans un disque de diamètre 1. Sur un dessin, cela est immédiat.

	* L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.		* L'intersection Z de 3 disques de rayons 1 centrés sur 3 points A,B,C placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté 1 est aussi une surface possible pour un ensemble convexe de diamètre 1.
	** Il s'agit en fait d'un triangle équilatéral de coté 1 "un peu gonflé"		** Il s'agit en fait d'un triangle équilatéral de coté 1 "un peu gonflé"
	** chaque angle d'un triangle équilatéral vaut 60°. Le secteur angulaire d'angle 60° d'un disque de rayon 1 a une surface de Pi/6 ~ 0,523598776... , cette surface ~~esr~~ la somme du triangle équilatéral de coté 1 + un petit onglet. cet onglet vaut donc (Pi/6)-(1/2) ~ 0,~~023598776~~. La surface de Z est donc 3 x 0,~~023598776~~ + (1/2) = 0,~~570796327~~		** chaque angle d'un triangle équilatéral vaut 60°. Le secteur angulaire d'angle 60° d'un disque de rayon 1 a une surface de Pi/6 ~ 0,523598776... , cette surface est la somme du triangle équilatéral de coté 1 + un petit onglet. cet onglet vaut donc (Pi/6)-sqrt(3)/4 = 0,523598776-0,433012702 ~ 0,090586074. La surface de Z est donc 3 x 0,090586074 + sqrt(3)/4 = 0,271758221 + 0,433012702 = 0,704770923
	** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans un disque de diamètre 1. Sur un dessin, cela est immédiat.		** Forme intéressante, car elle n'est pas contenue dans un disque de diamètre 1. Sur un dessin, cela est immédiat.

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